12 El problema de la inducción

Estemos más o menos a favor del inductivismo que defendían algunos modernos, lo que está claro es que obtenemos conocimiento útil sobre el mundo externo recurriendo, de un modo u otro, a inferencias ampliativas que, necesariamente, serán lógicamente inválidas. C. D. Broad, epistemólogo y filósofo de la ciencia, calificó a la inducción como la gloria de la ciencia y el escándalo de la filosofía.846 Recordemos: mientras que la deducción garantiza, dadas unas premisas verdaderas, la verdad de la conclusión, las inferencias ampliativas son lógicamente inválidas: incluso aunque todas y cada una de las premisas sean verdaderas la conclusión no tiene por qué serlo.847

12.1 El salto lógico ampliativo

Los problemas causados por esta inevitable limitación lógica han sido explorados por los filósofos desde la época helenística. Por ejemplo, el epicúreo Filodemo de Gadara (110 a. C. - c. 37 a. C.) escribió que a partir de la observación de que hemos visto morir a muchos hombres, no podemos deducir que todas las personas sean mortales y, menos aún, que todos los animales hayan de serlo.848 Sin embargo, quien realmente situó esta cuestión en el primer plano filosófico fue David Hume (1711-1776), el gran filósofo moderno, en su Investigación sobre el entendimiento humano.849

La deducción es capaz de preservar la verdad puesto que no trata de ir más lejos de lo contenido explícita o implícitamente en las premisas. Sin embargo, las inferencias ampliativas van más allá de sus premisas. Nadie ha visto, ni verá nunca, que todas las personas sean mortales o que todos los días salga el Sol, por lo que para llegar a esas conclusiones generales hemos de dar un salto lógico, hemos de extrapolar las observaciones particulares disponibles.

En ciencia, como no podría ser de otro modo, también interpolamos o extrapolamos. Como ejemplo podemos recordar las inferencias que Kepler realizó basándose en las observaciones de Brahe. Las órbitas elípticas keplerianas implican más que lo que Tycho había observado. En primer lugar, entre cualesquiera dos posiciones anotadas por Brahe para un planeta concreto en dos noches consecutivas se extiende un segmento que cubre infinitos puntos que nunca fueron observados y, además, Kepler no se conformó con interpolar, sino que extrapoló el comportamiento elíptico hacia el pasado y hacia el futuro e, incluso, llegó a proponer leyes que podrían aplicarse a otros astros todavía no observados. Es decir, Kepler hizo algo muy común, inducir una ley general a partir de unas observaciones concretas.

Esto no implica que sus conclusiones fuesen erróneas, recordemos que una inferencia inválida no implica la falsedad de la conclusión, pero sí que, desde un punto de vista lógico, las leyes de Kepler no pueden deducirse de las observaciones. Esto debería preocupar a un empirista comprometido. Estas inferencias siempre implican un salto lógico ampliativo: disponemos de unas observaciones particulares, nuestras premisas, pero alcanzamos conclusiones generales.850

Podría parecer que estas cautelas son exageradas, pero la realidad es que los científicos suelen acabar teniendo problemas reales debidos a estos saltos lógicos. De hecho, incluso el aparentemente robusto edificio de la física clásica terminó cayendo por haber extrapolado sus leyes a territorios empíricamente inexplorados.

12.2 Tribulaciones de un pavo navideño

Un caso muy comentado para introducir el carácter ampliativo de la inducción es el de los cisnes. Durante milenios, todos y cada uno de los cisnes que se habían observado en Europa eran blancos. Por lo tanto, habría sido irracional no concluir que los cisnes son blancos. De hecho, Aristóteles escribió que todos los cisnes son blancos.851 Aunque, todo hay que decirlo, el gran filósofo también consignó en sus obras algunos rumores zoológicos mucho más dudosos, como que los cisnes son animales muy musicales que cantan incluso al aproximarse su muerte. Pero dejemos de lado el asunto de la musicalidad escatológica y volvamos a la blancura del plumaje. Tras un gran tedio blanco que duró milenios, en 1697, los colonos ingleses, que se encontraban explorando un nuevo territorio, Australia, se toparon con una sorpresa: cisnes negros. Al final resultó que, a pesar de todas las evidencias previas, no todos los cisnes son blancos.

Sexto Empírico que, como buen escéptico trataba de ser muy prudente, ya había avisado de que, si tratamos de alcanzar una conclusión general a partir de unos datos particulares, quedaremos siempre expuestos a que en el futuro se encuentren nuevos datos que contradigan la conclusión. El único modo de justificar deductivamente una conclusión general sería observar todos y cada uno de los casos implicados, pero esto, puesto que hay, potencialmente, infinitos casos, es imposible.

Bertrand Russell (1872–1970) ilustró el problema con un cuento sobre un pavo cauto.852 Un buen día nuestro pequeño pavo es llevado a una granja y tras pasar su primera noche en ella, a las 9 de la mañana, le dan de comer. El pavo podría llegar a la conclusión de que en esa granja se alimenta a las aves a las 9 de la mañana, pero, como es un pavo cauto, prefiere reservar el juicio. El segundo día, el granjero repite la rutina y vuelve a alimentar a los animales a las 9. Y el tercero y el cuarto y el quinto continúa repitiéndose el patrón. Día tras día sigue confirmándose la regularidad. Sin embargo, a pesar de las evidencias, nuestro pavo, que confía en la inducción, pero sólo hasta cierto punto, prefiere mantener la cautela y se abstiene de alcanzar conclusión alguna. Al final, los meses de aburrimiento pueden acabar venciendo el escepticismo de cualquiera y el pavo cauto, el día 24 de diciembre, por fin induce la siguiente conclusión: “Todos los días me dan de comer a las 9 de la mañana.” Estoy seguro de que todos podemos inferir cuál será la inducción que servirá de cena en Nochebuena.

12.3 Utilizamos la inducción

Podríamos decidir atender a las quejas de Sexto y tratar de abandonar las inferencias ampliativas, pero, en ese caso, nos encontraríamos con otro problema. La deducción funciona muy bien en sistemas formales, como los creados por la lógica o las matemáticas porque en ellos sólo nos interesa la validez de la inferencia. Uno es libre, mediante la deducción pura, de plantear cualquier sistema formal coherente que le plazca; puede, por ejemplo, construir distintas geometrías. Sin embargo, lo que nunca podrá hacer partiendo de las evidencias empíricas y sin recurrir a la inducción es establecer cuál de esas construcciones formales se corresponde con el mundo externo.

El problema de la deducción es que siempre es válida, no depende de lo que ocurra en nuestro universo. La validez lógica, recordemos, es una propiedad meramente formal. El silogismo “todos los humanos son mortales, Sócrates es humano y, por lo tanto, Sócrates es mortal” sería válido incluso en universos en los que los humanos fuesen inmortales o en los que Sócrates nunca hubiese existido.853 La validez formal sólo garantiza coherencia formal. Las disciplinas formales, la lógica y las matemáticas, están interesadas por la validez, pero para la ciencia es crítico, además de que sus propuestas sean coherentes, que se correspondan con la realidad.

La deducción no es ampliativa, por lo que no puede ser utilizada para alcanzar conclusiones generales a partir de observaciones particulares. Aunque podemos deducir que, si todos los hombres son mortales, Sócrates también será mortal, por muchos funerales que visitemos, nunca podremos deducir que todos y cada uno de los hombres presentes y futuros van a ser mortales.

Las teorías científicas siempre se refieren a cuestiones generales, por lo que no pueden ser deducidas a partir de un conjunto finito de observaciones, siempre estaremos obligados a dar un salto lógico, a ir más allá de lo que hemos observado. Es necesario inducir siempre que queramos caracterizar el comportamiento general de un sistema partiendo de información limitada. Esto es, por ejemplo, lo que hizo Kepler al saltar de las observaciones concretas diarias de Brahe a sus órbitas continuas.

Lo que sí podemos conseguir mediante la deducción, si asumimos un modelo astronómico con órbitas elípticas y una posición y velocidad para Marte y la Tierra, es calcular la posición en la que esperamos ver a Marte cada noche en el cielo. Recordemos, esta es, precisamente, la base del método hipotético-deductivo y, como veremos, será una parte importante de la inferencia bayesiana.

Sin embargo, lo que nunca podremos hacer partiendo de unas observaciones particulares es deducir una órbita completa. Al atrevernos a plantear una hipótesis general sobre el comportamiento del mundo externo partiendo de información limitada, por ejemplo, la forma de una órbita, estamos obligados a dar un salto lógico ampliativo y, por lo tanto, quedamos necesariamente expuestos al error.

A pesar de estas limitaciones, lo cierto es que inducimos continuamente tanto en ciencia como en nuestra vida cotidiana. En realidad, el problema de la inducción podría denominarse el problema de la generación de hipótesis razonables a partir de la experiencia.854 Alguien podría plantear que un modo de escapar del problema de la inducción sería limitar nuestras conclusiones a lo que hemos observado. Si Brahe observó Marte en unas posiciones concretas unos días concretos podríamos quedarnos con esos datos y no ir más allá. Sin embargo, esto no sólo acabaría con la ciencia, sino con nuestro conocimiento cotidiano, puesto que nos impediría generalizar. Siendo optimistas, podríamos concluir que ayer la sal me supo salada, pero no habría forma de determinar qué deberíamos hacer hoy para aliñar la ensalada a nuestro gusto. Renunciar a la inducción no sólo haría imposible, la ciencia, sino nuestra vida cotidiana. Al fin y al cabo, todo nuestro conocimiento del mundo, tanto el científico como el cotidiano, se basa en hacer generalizaciones sobre lo que no hemos observado basándonos en las evidencias disponibles.

Recuerdo un chiste que me contaron en mis años de facultad sobre un grupo de estudiantes que divisan una oveja mientras viajan en tren por una pradera escocesa. Al ver la oveja el biólogo exclama sorprendido: anda, las ovejas escocesas son negras. A lo que su amigo químico, queriendo ser más cauto, responde: no, sólo puedes afirmar que hemos visto una oveja negra, pero el resto podría tener lana blanca. Mientras que el matemático, más prudente aún, apostilla: no, sólo podemos afirmar que hemos visto una oveja que tiene, al menos, la mitad del pelo, la que podemos ver, de color negro. Aquí acababa el chiste, pero podríamos añadir a un escéptico helenístico que añadiese: lo que podemos afirmar con seguridad es que nuestro sistema perceptual nos ha mostrado media oveja que, desde nuestro punto de vista parece ser negra. Y, por último, un solipsista puntilloso podría concluir diciendo que lo único que podemos afirmar con certeza es que recordamos haber visto una oveja, pero puede que todo, tren y amigos incluidos, sea un sueño o una alucinación.

Este es un problema que comparten, incluso, nuestros sistemas perceptuales, que también generan modelos del mundo partiendo de la limitada información que les llega. Por ejemplo, la percepción de que mi gata está dormida junto a mí es un proceso muy complejo que crea modelos partiendo de la escasa información recogida por mis retinas y que para crearlos asume, implícitamente, la uniformidad de ese mundo externo. Los fotones que llegan a mis retinas son procesados aceptando que el mundo sigue teniendo tres dimensiones y que los objetos que hay en él ocupan un espacio y se desplazan de un modo continuo por él. Estas asunciones hacen que podamos disfrutar del cine a pesar de que en la pantalla no aparezcan objetos tridimensionales ni que el movimiento sea continuo y también son las responsables, cuando son violadas, de que aparezcan ilusiones perceptuales. La sombra de Kant es alargada.

12.4 El principio de la uniformidad

Hume hizo otra puntualización importante: el éxito de la inducción siempre depende de una premisa implícita fundamental: el mundo externo se caracteriza por respetar unas ciertas regularidades, no es un caos absoluto. Además, solemos asumir que estas regularidades, al menos en lo que respecta a la física fundamental, son sencillas. A la creencia de que el comportamiento del universo es regular, de que los patrones del mundo externo responsables de las observaciones que hemos realizado son más o menos uniformes en el tiempo y en el espacio podemos denominarla principio de la uniformidad de la naturaleza.855

Por ejemplo, Kepler asumió, implícitamente, que los planetas siguen una órbita continua y sencilla. Esta es una premisa muy razonable, pero no es necesariamente cierta. Podría ser que viviésemos en un mundo gobernado por un dios muy caprichoso que se deleitase confundiendo a Brahe y Kepler y que hiciese aparecer los planetas sólo en el momento preciso en el que Brahe los observaba, pero que, el resto del tiempo, ni Marte ni Júpiter existiesen.

Esta es la misma premisa que aplicamos al concluir que el mundo externo sigue existiendo mientras parpadeamos. Nuestras observaciones son perfectamente compatibles con que un enorme abismo vacío engulle el universo cada vez que cerramos los ojos. Por otro lado, también utilizamos la asunción de la uniformidad y sencillez del cosmos al concluir, tal y como apuntó Russell, que nuestra existencia no comenzó hasta hace 5 minutos.856 Todas nuestras observaciones son compatibles con que fuimos creados por un dios travieso hace 5 minutos, o el último jueves,857 que no sólo creó el universo con todos los objetos y todos los fotones en las posiciones que ocupan actualmente, sino que, además, tejió las conexiones de nuestro cerebro para crear nuestros recuerdos.

Además, al hacer predicciones utilizando el conocimiento generado mediante evidencias recogidas en el pasado también estamos asumiendo que las leyes del cosmos y los patrones que observamos no van a cambiar abruptamente en el futuro inmediato. Cuando Kepler propuso que las órbitas planetarias son elípticas no pensó que iban a ser elípticas hasta el momento en el que Brahe había hecho sus mediciones, pero que después iban a cambiar de un modo irregular. Sin embargo, debemos recordar que este fue, precisamente, el trágico fallo del cauto pavo inductivista.

El filósofo norteamericano Nelson Goodman propuso, en 1955, en su Nuevo enigma de la inducción, un problema relacionado con el anterior.858 Hasta el momento hemos observado que las esmeraldas son verdes, por lo que podríamos concluir que las esmeraldas son verdes, pero también podríamos concluir que son verdules. Se definen como verdules aquellos objetos que tienen la propiedad de aparecer como verdes hasta una fecha determinada, por ejemplo, hasta el año próximo, y como azules a partir de ese momento. Dadas las evidencias empíricas disponibles podríamos concluir tanto que las esmeraldas son verdes como verdules. No hay ninguna motivación empírica que favorezca la hipótesis verde frente a la verdul. La única diferencia entre ambas hipótesis es que la verdul es algo más compleja.

Una opción es elegir, de entre las distintas hipótesis capaces de explicar las mismas evidencias, la más sencilla. Esta sencillez sería lo que los filósofos denominan una virtud superempírica de la teoría, es decir, un atributo de la teoría que va más allá de lo que podemos observar empíricamente. Sin embargo, conviene recordar que el mundo externo no tiene por qué seguir necesariamente las leyes más sencillas. Siempre habíamos pensado que era evidente que los objetos ocupaban una posición definida en el espacio. Una bola de billar está en una posición o está en otra posición. Sin embargo, cuando a principios de siglo XX se empezaron a hacer experimentos para indagar lo que sucedía a escalas subatómicas, la realidad se empeñó en mostrarnos que el comportamiento de los electrones, y del resto de partículas subatómicas, es mucho más extraño de lo que habíamos asumido. No está nada claro que tenga sentido hablar de las posiciones de los electrones cuando no estamos interaccionando con ellos.

Hume planteó, correctamente, que no podemos deducir que el mundo sea uniforme, puesto que cabe la posibilidad lógica de que no lo sea.859 Esta conclusión, la de que el cosmos es uniforme, es sintética, no analítica, es decir, que no puede inferirse a partir de las definiciones de un sistema formal, sino que hace referencia al mundo externo y este, en principio, podría no ser uniforme.860 Podríamos tratar de justificar este principio por inducción: dado que en el pasado hemos observado que las leyes de la naturaleza se mantienen, podemos asumir que la naturaleza seguirá respetando este principio. Lo mismo es aplicable para las regiones del cosmos que no hemos explorado: dado que las regiones de las que sí tenemos evidencias empíricas se comportan de un modo determinado, el resto debe hacerlo también. Sin embargo, estas justificaciones no son suficientes.

En primer lugar, un escéptico radical podría decirnos que, aunque nos parece haber observado que la naturaleza es uniforme, tal vez nuestra memoria nos esté engañando. No es trivial descartar rigurosamente el escepticismo radical. No es fácil justificar por qué es irracional concluir que el universo que vemos no es fruto de un elaborado engaño. La respuesta que han planteado muchos filósofos tiene que ver con la complejidad inherente a las hipótesis de los escépticos radicales. Cualquier engaño, haya sido éste perpetrado por las máquinas de Matrix o por un dios travieso, requiere un mecanismo muy complejo capaz de crear la ilusión de un universo con una historia coherente completamente inventada. Como ya hemos comentado, es razonable favorecer las hipótesis más sencillas. Es más sencillo plantear que el mundo se comporta como parece hacerlo, porque realmente es así, que postular que existe un mecanismo complejo tras las regularidades que hemos observado. Sin embargo, hemos de reconocer que esta no es una virtud empírica de las hipótesis, sino superempírica. Realmente podríamos vivir en Matrix. Otra opción, bastante razonable, consiste en no tratar de llegar más allá de las regularidades que hemos observado. El universo parece comportarse como se comporta y esto es suficiente para un empirista estricto, no necesita plantearse si la estructura que detecta es fundamental o no. Aunque, claro está, esta opción también requiere que asumamos el principio de uniformidad. Este punto lo comentaremos más extensamente cuando hablemos de los realistas y los antirrealistas.

Sin embargo, aunque descartemos las críticas de los escépticos radicales seguimos teniendo el problema de justificar el principio de uniformidad. La naturaleza podría dejar de comportarse como lo ha venido haciendo hasta el momento, tanto en regiones que no hemos explorado, como en el futuro. Podríamos tratar de justificar este principio por inducción: hasta el momento hemos observado que el cosmos es uniforme, por lo tanto, concluimos que siempre será uniforme. Pero, claro está, este es un razonamiento que, tal y como Hume indicó, es circular. De hecho, podría ser que las regularidades que hemos observado hasta el momento dejen de mantenerse. Por ejemplo, a finales del siglo XIX la gravedad newtoniana había sido contrastada mediante evidencias empíricas obtenidas en múltiples escenarios, que abarcaban desde las manzanas a los planetas, por lo que parecía muy robusta. Sin embargo, la conclusión no se mantuvo, el cosmos no tenía exactamente la estructura que pensábamos y cuando nos acercamos a objetos muy masivos las predicciones de la gravedad newtoniana fallan estrepitosamente.

Algún lector podría pensar que, como el cosmos en realidad sigue comportándose igual, la gravedad sigue funcionando igual, que lo único que ha cambiado ha sido nuestro conocimiento sobre ella. Es cierto que es probable que el cosmos no haya cambiado realmente, pero la cuestión es que nosotros no conocemos con absoluto detalle la estructura del cosmos, por lo que, incluso aunque la metafísica última del cosmos no haya variado, nuestras ideas sobre el mismo sí lo han hecho. El problema de la inducción es lógico y se aplica a cualquier caso en el que no dispongamos de una información completa del sistema estudiado. Una vez conocemos las reglas generales completas del sistema, de hecho, podemos prescindir de la inducción y hacer predicciones puramente deductivas. Podemos deducir predicciones a partir de un modelo.

Además, aunque es posible que las leyes físicas fundamentales del cosmos sean realmente estables, no toda la ciencia es física fundamental. Hay áreas científicas que estudian sistemas en los que las condiciones pueden cambiar sin que los científicos se den cuenta. Por ejemplo, si hemos estudiado el comportamiento de un ecosistema durante décadas y hemos llegado a entender su funcionamiento, puede que ese conocimiento deje de ser aplicable cuando aparezca un nuevo factor, como una enfermedad desconocida o una especie invasora. En los sistemas sociales esto es todavía más relevante puesto que cambian a una gran velocidad y lo que aprendimos sobre su comportamiento ayer, probablemente, no será fácilmente extrapolable al futuro.

A pesar de estas dificultades, Hume no recomendó que evitásemos la inducción. Entendió que la inducción es necesaria, tanto en nuestra vida cotidiana como en la ciencia.861 Esta es una conclusión compartida por la mayoría de los filósofos, que no suelen creer que el uso de la inducción sea irracional. Las inferencias ampliativas no son lógicamente tan sólidas como la deducción, pero no hay duda de que, en la práctica, suelen ser una buena herramienta.862 La cuestión no es plantearse si es racional pensar que el Sol saldrá mañana, sino preguntarse por qué es racional creerlo.863

En cualquier caso, es importante recordar que, al dar un salto lógico ampliativo, al ir más allá de lo observado, siempre quedaremos expuestos a equivocarnos. Esta es una limitación insalvable de la generación del conocimiento sobre sistemas de los que no tenemos información completa, por lo que es recomendable que nos esforcemos en ser rigurosos y que, al mismo tiempo, asumamos una cierta modestia intelectual.

Las asunciones que hacemos al salir de casa por la puerta, y no intentando atravesar la pared, o al plantear teorías científicas, conllevan un cierto riesgo, pero parece que en el pasado hemos acertado lo suficiente como para que merezca la pena continuar esforzándonos por comprender el mundo externo.

12.5 Subdeterminación

Los filósofos de la ciencia hablan de subdeterminación cuando disponemos de varias hipótesis compatibles con las evidencias disponibles. Este es un problema que ya planteó el pirrónico Enesidemo (80 a. C.-10 a. C.), pero que se popularizó tras el análisis que le dedicó el filósofo e historiador de la ciencia Pierre Duhem en su libro El objeto y la estructura de la teoría física (1906). Puesto que la dificultad aparece al tratar de explicar unas evidencias limitadas mediante unas hipótesis más generales, la subdeterminación es, en realidad, otra forma del problema de la inducción.864

Generar hipótesis subdeterminadas es muy sencillo. Por ejemplo, podríamos proponer teorías idénticas a las actuales, pero que planteasen que dentro de un año, o de dos o tres, el mundo pasará a estar regido por brujas. Este es, precisamente, el problema lógico que Goodman estaba tratando de evidenciar con sus esmeraldas verdules.865

También podemos ilustrar el problema con el ejemplo del ajuste de una recta. Dado un número finito de observaciones, por ejemplo, un número determinado de puntos en un plano cartesiano, podemos plantear un número infinito de hipótesis que se ajusten a los mismos. En este caso, las diferentes hipótesis serían líneas concretas, algunas rectas, otras curvas, que atravesasen el plano más o menos cerca de los puntos observados.866

Podría pensarse que esta limitación no tiene una gran trascendencia práctica. Al fin y al cabo, en la práctica, los investigadores solemos encontrarnos con el problema opuesto: dadas unas evidencias, no somos capaces de generar ni una sola hipótesis capaz de explicarlas. Por ejemplo, en la actualidad nadie ha conseguido, a pesar del enorme esfuerzo realizado por miles de físicos, plantear una teoría fundamental que unifique la mecánica cuántica con la relatividad general.867 No hemos sido capaces de postular ni una sola teoría que aúne la física de lo muy pequeño con la física de lo muy masivo.

Sin embargo, concluir que la subdeterminación es un simple problema lógico que no afecta a la práctica científica sería un gran error. Ya hemos comentado, por ejemplo, el caso del modelo copernicano y el ticónico. A pesar de lo que muchos creen, una vez que Galileo realizó sus observaciones casi nadie volvió a defender el modelo ptolemaico; ni siquiera los astrónomos eclesiásticos lo hicieron. Las observaciones de Galileo, como hemos visto, hicieron que la mayoría de los astrónomos descartasen inmediatamente los epiciclos de Ptolomeo. Sin embargo, esto no implica que aceptasen que la Tierra se moviese, podían decantarse por la alternativa propuesta por Tycho Brahe. En este modelo los planetas giraban alrededor del Sol, pero el Sol se movía alrededor de la Tierra. A pesar de que una hipótesis era geocéntrica y la otra heliocéntrica, ambas eran, dadas las evidencias empíricas disponibles en aquel momento, indistinguibles. Por eso la Iglesia católica pudo, razonablemente, pedir a Galileo nuevas evidencias que permitiesen descartar la hipótesis ticónica de una Tierra inmóvil. Incluso si se aceptaba la observación de las fases de Venus, que había descartado al modelo ptolemaico, seguía siendo razonable, atendiendo a las evidencias empíricas, negar al movimiento de la Tierra.

Lo mismo suele ocurrir en las investigaciones criminales. Imaginemos un asesinato y unas evidencias determinadas. Cada uno de nuestros sospechosos sería una hipótesis concreta. Para cada hipótesis, para cada posible asesino, podríamos deducir qué evidencias esperaríamos haber encontrado en la escena del crimen. Por ejemplo, si la víctima fue asesinada a golpes, esperaríamos que el sospechoso fuese alguien bastante fuerte. En base a esta predicción podríamos descartar a todos los alfeñiques. Sin embargo, esto no resolvería necesariamente el caso, puesto que podría ser que tuviésemos varios sospechosos muy musculosos. Nos encontraríamos, de nuevo, ante una subdeterminación.

En ciencia también es común disponer de varias hipótesis capaces de explicar las observaciones disponibles. En estos casos el científico, como parte del proceso activo de investigación, suele buscar nuevas evidencias que le permitan discriminar entre las distintas opciones.868 Esto es lo que pidió la curia vaticana a Galileo. Dado que, tanto la hipótesis ticónica como la copernicana explicaban las observaciones astronómicas disponibles, los inquisidores demandaron a Galileo nuevas evidencias que permitiesen favorecer una de las dos opciones. Por desgracia nuestro pisano favorito no consiguió obtener evidencias capaces de aclarar la subdeterminación. No siempre es fácil resolver las subdeterminaciones y puede que durante un tiempo contemos con varias teorías capaces de explicar las observaciones. De hecho, para resolver ésta Galileo habría necesitado, por ejemplo, medir el paralaje estelar, pero las estrellas están tan lejos y el efecto es tan pequeño que no pudo medirse hasta 1838. Esto, sin embargo, no implica que hasta ese momento tan tardío los científicos siguiesen pensando que la propuesta de Tycho era razonable. La elección entre hipótesis, como comentaremos, es una cuestión más sutil.

Además, tenemos otro problema aún más insidioso, el de las hipótesis no planteadas.869 Podría ser que el acusado que hemos encarcelado tras la investigación criminal fuese en realidad inocente. ¿Y si el culpable fuese el más debilucho de los sospechosos? Puede que, gracias a su ingenio, este alfeñique hubiese conseguido confundir a la policía. Estas hipótesis no consideradas son comunes en la práctica científica y, en ocasiones, se han hecho notar de un modo espectacular.

Por ejemplo, a finales del XIX, dados los enormes éxitos predictivos de las teorías de Newton y Maxwell, se tenía una gran confianza en haber llegado al final de la física. En 1894 el físico Albert Michelson, el del experimento de Michelson y Morley que no consiguió detectar el éter, afirmó que ya se conocían todas las leyes relevantes de las ciencias físicas.870 Y, en 1878, el profesor alemán Johann Philipp Gustav von Jolly recomendó a uno de sus alumnos que no estudiase física diciéndole que “en este campo ya está casi todo descubierto y sólo quedan por solucionar algunos pequeños detalles sin importancia.” Su estudiante le replicó que estudiaría física puesto que no estaba especialmente interesado en hacer nuevos descubrimientos, sino, tan sólo, en comprender las teorías que explicaban el mundo.871 Ese estudiante era Max Planck y mientras investigaba uno de esos pequeños detalles, el espectro de emisión del cuerpo negro, es decir, el espectro de emisión térmica de los objetos, dio con un resultado que acabaría devorando nuestras certezas clásicas y arrojándonos a un mundo cuántico inesperadamente extraño.

Y esto debería servirnos de lección. En la actualidad no disponemos de evidencias empíricas que no puedan ser explicadas por la relatividad general, pero es posible que el universo se comporte a nivel profundo de un modo distinto al planteado por Einstein. Siempre cabe la posibilidad de que la realidad se parezca más a una hipótesis que todavía no hemos considerado que a la actual. Y, además desde nuestra perspectiva presente es imposible determinar qué teorías actuales resistirán la criba y cuáles caerán. Esto es algo que sólo podrá saberse a posteriori.

Este problema podría causar una cierta zozobra en algún lector que piense que puede que mañana nos despertemos con una imagen del cosmos completamente diferente a la actual. Sin embargo, es importante recordar que cualquier nueva teoría deberá dar cuenta de las observaciones actuales. Por ejemplo, cuando Einstein planteó la relatividad general, también explicó las evidencias que daban soporte a la gravedad newtoniana. Por lo tanto, al menos, tenemos la garantía de que las nuevas teorías se comportarán, en las regiones que ya hemos explorado empíricamente, de un modo similar al de nuestras teorías actuales. Recordemos: ninguna nueva teoría racional concluirá jamás que la Tierra es cúbica o plana.

Por otro lado, también hay teorías que tienen una estructura indistinguible, que hacen predicciones empíricas completamente idénticas y que, por lo tanto, nunca podrán ser diferenciadas si nos limitamos a las observaciones. En este caso los filósofos de la ciencia hablan de subdeterminación fuerte.

Hasta el momento habíamos comentado ejemplos de subdeterminación débil ya que, podía esperarse que, eventualmente, se encontrasen evidencias empíricas que resolviesen la subdeterminación, pero en el caso de la fuerte esto es imposible. Como ya hemos comentado, una hipótesis completamente indistinguible empíricamente que siempre podemos plantear es la de que el mundo fue creado hace cinco minutos con todo lo que vemos en él872 y otra es la de que vivimos dentro de Matrix. De nuevo el fantasma del escepticismo radical.

En ciencia, aunque pueda sorprendernos, también hay casos de subdeterminación fuerte. Por ejemplo, en 1925 Heisenberg, Born y Jordan plantearon una formulación de la mecánica cuántica conocida como mecánica matricial que, por primera vez, era capaz de dar cuenta de los extraños resultados que los laboratorios experimentales se habían empecinado en producir. Muy poco después Schrödinger planteó una solución alternativa que también era capaz de reproducir esas mismas evidencias. Este es un caso de subdeterminación fuerte ya que las consecuencias empíricas de ambas formulaciones, tal y como demostraron Dirac y Von Neumann, son exactamente equivalentes. La estructura matemática subyacente de ambas teorías es, en el fondo, equivalente y, por lo tanto, no hay forma de distinguirlas.873 Los físicos concluyeron que se trataba de dos formulaciones matemáticas alternativas de la misma teoría. Sin embargo, esta equivalencia no ha de hacernos pensar que ambas teorías eran filosóficamente idénticas. Mientras que Heisenberg optó por una formulación basada en entidades observables en el laboratorio, Schrödinger planteó funciones de ondas con una existencia supuestamente real que, en la práctica, nunca podrían ser observadas.

En la actualidad la situación teórica de la mecánica cuántica es incluso más compleja ya que hay distintas interpretaciones que, al menos con las evidencias actuales, están subdeterminadas. La interpretación de Copenhague, la más estándar, asume un componente aleatorio y una distinción, no muy claramente definida, entre sistemas cuánticos y clásicos y da lugar al problema conocido como de la medida. Otras de las dos interpretaciones alternativas más conocidas son las de Bohm, que incluye variables ocultas, pero que es completamente determinista, aunque no local, y la de los múltiples mundos de Everett. Según la bohmiana, el gato de Schrödinger estaría o vivo o muerto antes de abrir la caja y su estado estaría predeterminado por unas variables ocultas imposibles de medir, mientras que en la de Everett el evento cuántico haría que el estado del universo se dividiese en varias ramas, en algunas de ellas el gato estaría vivo y en otras muerto. Pero el caso es que, a pesar de postular realidades físicas tan diferentes, todas estas interpretaciones hacen unas predicciones empíricas completamente idénticas, están, por lo tanto, subdeterminadas y esta parece ser una subdeterminación fuerte. Nadie ha podido plantear, al menos de momento, ningún experimento que pueda diferenciarlas. Aunque esto podría cambiar en el futuro.

Este tipo de problemas nos indican que disponer de una teoría empíricamente adecuada, que sea capaz de dar cuenta de las evidencias disponibles y de hacer predicciones correctas, no es ninguna garantía metafísica. En lo que sí podemos confiar es que ese modelo será siempre una herramienta que nos ayudará a desenvolvernos en el mundo. En los capítulos dedicados a la metafísica comentaremos la postura antirrealista que asume un compromiso radical con el empirismo y sus limitaciones y que, por lo tanto, cierra para siempre las puertas del cielo metafísico.

A pesar de estos problemas, los antirrealistas ven el vaso medio lleno: disponemos de varias interpretaciones de la mecánica cuántica que explican las evidencias y que hacen predicciones extraordinariamente precisas con las que podemos desarrollar tecnologías y eso, según ellos, es suficiente. ¿Acaso tiene sentido establecer si quiera qué interpretación de la mecánica cuántica fuertemente subdeterminada se corresponde más con la realidad? Si todas dan cuenta de las mismas evidencias empíricas, ¿puede el empirista elegir entre ellas? Además, incluso las teorías físicas clásicas, aunque no sean las más avanzadas, siguen siendo útiles para la NASA. La utilidad es, desde luego, un gran valor en ciencia por lo que renunciar a la metafísica, tal vez, no sea tan grave.

Sin embargo, los filósofos realistas defienden que la ciencia no tiene que limitarse a proponer teorías que se adecuen a las observaciones disponibles, sino que debe aspirar a determinar cuál es la realidad. A lo que los antirrealistas responden acusándolos de flirtear peligrosamente con una metafísica situada más allá del empirismo. A lo que los realistas replican pidiendo explicaciones a los antirrealistas de por qué se atreven a asumir el compromiso metafísico que implica defender la existencia de los gatos, pero se ponen tan nerviosos cuando se trata de electrones. Continuaremos con este debate en los últimos capítulos.

12.6 El sueño de la justificación deductiva

Tanto Kant como Popper o Russell pensaron que el problema de la inducción era el mayor obstáculo jamás planteado al conocimiento y no es descabellado opinar que una gran parte de la filosofía de la ciencia del siglo XX, que poco a poco iremos desgranando, se constituyó como distintas reacciones a las limitaciones fundamentales derivadas del desafío humiano.874

Una posible opción para evitar el problema de la inducción consiste en abandonar toda esperanza de solucionar las dificultades relacionadas con la fase de descubrimiento, que, además, parece depender mucho de factores psicológicos y sociales, y limitarse a tratar de establecer una justificación deductiva de las hipótesis. Esta renuncia a hacer recomendaciones sobre la fase de descubrimiento podría parecernos una gran pérdida, pero no es una posición tan descabellada; si fuésemos capaces de establecer las normas racionales a seguir para elegir entre hipótesis habríamos avanzado muchísimo. Esta era, por ejemplo, la ambición de los positivistas lógicos, la racionalidad de una hipótesis debe depender de lo que dicha hipótesis implique, no de las circunstancias que favorecieron su nacimiento.

Podríamos plantear la evolución biológica como una analogía extrema de esta aproximación. En la evolución, los distintos genomas, las distintas recetas sobre cómo actuar en el mundo, no se generan por inducción, sino que se crean completamente al azar, por mutación, es como si la fase de descubrimiento de los distintos diseños se hiciese a lo loco, pero luego la selección natural elige, de entre las distintas propuestas, aquellas que mejor funcionan y con esto basta para asegurarnos de que se obtendrá diseño final adecuado. Es decir, la evolución es capaz de crear conocimiento implícito sin realizar inducción alguna durante la fase de descubrimiento gracias a que la selección comprueba el desempeño de cada genoma durante la fase de justificación ante el mundo externo. La esperanza es que, aunque es difícil establecer qué motivos objetivos deberían llevar a un investigador a plantear que las órbitas son elípticas, tal vez sea más fácil y útil establecer normas que permitan justificar objetivamente las hipótesis planteadas.

Una opción consistiría en seguir las recomendaciones aristotélicas y hacer una justificación puramente deductiva. Si pudiésemos conseguir una justificación puramente deductiva, es decir, lógicamente válida, de modo que la inducción quedase relegada a la fase de descubrimiento, habríamos solventado una parte fundamental del problema de la inducción.

El problema de la propuesta aristotélica, como ya hemos comentado, es que sólo funciona bien para los sistemas formales. Cuando estudiamos el mundo externo, para que las conclusiones de las deducciones sean verdaderas, y no sólo válidas, hemos de partir, necesariamente, de premisas verdaderas. Además, en la práctica, tenemos el problema adicional de que podemos equivocarnos al hacer largas cadenas deductivas, pero obviemos esta segunda dificultad. Aristóteles se planteó cómo llegar a las premisas verdaderas, pero no resolvió la cuestión satisfactoriamente porque: ¿acaso no deben estas premisas generales ser inducidas a partir de observaciones concretas?

Por ejemplo, supongo que Aristóteles habría aprobado la premisa: los líquidos fluyen a favor de la gravedad. Este no parece ser un punto de partida muy controvertido para iniciar una cadena de deducciones, al fin y al cabo, todos nosotros hemos observado muchos ejemplos de líquidos fluyendo a favor de la gravedad. Los ríos, por ejemplo, no escalan montañas, sino que bajan hacia el océano. Sin embargo, ¿podemos estar realmente seguros de que esto será verdadero para todos y cada uno de los líquidos? Puede que, a pesar de haber hecho muchísimas observaciones, tal vez, se nos haya escapado alguna evidencia clave. Recordemos el plumaje de los cisnes negros. No tenemos una garantía absoluta de que todos los líquidos vayan a fluir siempre a favor de la gravedad y, por lo tanto, no podemos saber si esta es una premisa válida en todas las circunstancias, por lo que no deberíamos usarla como punto de partida en una justificación que pretenda alcanzar un estatus de verdad infalible.

Esto plantea un problema fundamental, si no podemos alcanzar las premisas referidas al mundo externo por deducción a partir de un conjunto finito de observaciones particulares, nunca podremos hacer inferencias deductivas infalibles relativas a ese mundo externo. Por muchos años o décadas que dediquemos a nuestros experimentos, nunca podremos observarlo todo y, por lo tanto, nuestras deducciones siempre estarán sujetas a la falibilidad de las premisas. Por cierto, aunque no hay ríos que corran desde el mar a las montañas, sí que hay líquidos, los superfluidos, capaces de fluir desafiando la gravedad.875

Aristóteles asumió que, de algún modo, nuestra mente debería ser capaz de intuir cuáles son las premisas verdaderas generales, pero esto es claramente insatisfactorio. Este es un problema que afectó especialmente a los filósofos naturales medievales, que pretendían seguir el ejemplo aristotélico, y, sobre todo, a los metafísicos escolásticos que depositaron una gran confianza en sus magníficos edificios deductivos, sin caer en la cuenta de que sus construcciones tenían los pies de barro ya que, entre otras cosas, partían de premisas obvias, como que todos los objetos ocupan una posición en el espacio, pero que no tenían por qué ser verdaderas.

Popper, como veremos, también intentó solventar el problema proponiendo una justificación puramente deductiva, pero su propuesta fue muy diferente a la Aristotélica. No en vano habían transcurrido dos milenios de investigación filosófica. Por muchos datos confirmatorios que obtengamos nunca podremos estar seguros de que una hipótesis es verdadera puesto que puede que haya observaciones por hacer que evidencien su falsedad, pero, al menos, pensó Popper, podríamos descartar, deductivamente, aquellas hipótesis que no sean empíricamente adecuadas. Esta renuncia parcial implica que nunca podremos estar seguros de que nuestra hipótesis actual, en el futuro, no vaya a sucumbir, pero, al menos, si podríamos descartar deductivamente las hipótesis erróneas. Sin embargo, como comentaremos en el próximo capítulo, ni siquiera esto fue posible, ya que las ambiciones de Popper, a pesar de los sacrificios que implicaban, cayeron frente al problema del holismo confirmacional.

En realidad, en la práctica científica el uso de la inducción es imprescindible y generalizado. Tanto durante la fase de descubrimiento, en la que las hipótesis se generan utilizando inferencias como la inducción simple, la abducción o la analogía, como en la de la justificación, en la que es común que se utilicen la inferencia a la mejor hipótesis, algún tipo de inferencia eliminativa o, en general, la inferencia bayesiana (que comentaremos más adelante). Es normal que así sea ya que siempre estaremos justificando una conclusión general basándonos en unas evidencias limitadas. La mayoría de estos tipos de inferencia son, además, ampliativos y, por lo tanto, lógicamente inválidos. La excepción es la inferencia bayesiana, que no es ampliativa. De hecho, este es uno de los motivos que la hacen especialmente interesante. En realidad, la inferencia bayesiana puede considerarse como una generalización de la lógica para el caso en el que asignamos grados de confianza a nuestras hipótesis y evidencias.

La propuesta bayesiana recurre a la probabilidad. Russell ya defendió que lo racional sería establecer el grado de confianza en las diversas hipótesis basándose en las evidencias disponibles.876 En este caso la probabilidad refleja este grado de confianza. Esto es lo que formaliza, como exploraremos en el penúltimo capítulo, la inferencia bayesiana. El bayesianismo llegó a la ciencia de la mano del gran matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827), pero no se popularizó hasta el siglo XXI. La inferencia bayesiana plantea una lógica probabilística que incluye a la deductiva y a la inductiva en un marco común y que es capaz de distribuir la información contenida en las evidencias en la confianza final que nos merecerán las distintas hipótesis planteadas. El bayesianismo representa un gran avance ya que resuelve la cuestión de cómo debe un pensador racional actualizar la confianza en sus creencias dadas unas evidencias concretas. ¿Cuál habría sido el comportamiento racional del pavo cauto? Pues el marco bayesiano dicta cómo debe ir actualizando su confianza, día tras día, a medida que siguen poniéndole de comer cada mañana.

A pesar de que el bayesianismo representa, sin duda alguna, un gran avance, no consigue solventar el problema de las hipótesis no planteadas ni la violación del principio de uniformidad. La inferencia bayesiana comienza asumiendo un conjunto de hipótesis a evaluar, pero no nos dice nada sobre cómo generar esas hipótesis ni sobre cuándo y cómo conviene modificarlas. Esta lógica sólo contempla cómo hemos de alterar nuestra confianza en nuestras creencias a medida que vamos obteniendo nuevas evidencias.

De modo que ni Aristóteles, ni Popper, ni los bayesianos han sido capaces de librarnos del todo del problema de la inducción. La mayor parte de los filósofos de la ciencia cree que la inducción es imprescindible877 y que, por lo tanto, siempre que plantemos un modelo del funcionamiento de un sistema, a partir de información limitada, deberemos asumir el falibilismo que implican los saltos lógicos ampliativos.

12.7 Otras reacciones

Otra opción al problema de la inducción que ha sido muy popular, especialmente en la segunda mitad del siglo XX, es la de Feyerabend y los relativistas: si no hay un modo absolutamente certero de justificar una creencia particular, todas las creencias son igual de válidas.878 Esta posición tiene su paralelismo en la filosofía antigua, en este caso en Protagoras y los sofistas, que concluyeron que si a mí me parece que el agua está fría es que el agua está fría. Esta conclusión encierra un error fundamental puesto que confunde el mapa con el territorio, mis ideas sobre el mundo con el mundo externo. Que a mí me parezca que el agua está fría sólo implica que a mí me parece que el agua está fría, la cuestión de la temperatura real del agua es otra bien distinta.

Otra alternativa es regresar al escepticismo radical helenístico, defender la pureza del conocimiento y asumir que si la certeza absoluta es inalcanzable debemos renunciar a la posibilidad de aprender sobre el mundo externo.

Tanto el escepticismo radical como el relativismo son defendidos en la actualidad por muy pocos pensadores serios. Las propias escuelas escépticas antiguas se dieron cuenta de que una renuncia honesta al conocimiento del mundo externo impediría la intervención en ese mundo, lo cual es incompatible con la vida. Además, resulta evidente que, si nuestras acciones funcionan, al menos parcialmente, debe de ser porque las predicciones generadas a partir de nuestras creencias deben de estar recogiendo, al menos en parte, la estructura del mundo externo. Y esto hace que la renuncia a la posibilidad de conocimiento sea claramente irracional. Uno siempre puede plantear dudas más allá de lo razonable, pero esas dudas serán, por supuesto, irracionales. La cuestión que debemos plantearnos no es si el conocimiento es posible o no, está claro que lo es, lo relevante es cómo conseguir mejorar su generación.

Además, hemos de ser muy conscientes de que, aunque al menos sobre algunos aspectos del mundo externo, es posible generar conocimiento, no es menos cierto que ese conocimiento será falible y, por lo tanto, debemos estar abiertos a la posibilidad de que sea revisado en el futuro. Y lo que es peor, las consecuencias del problema de la inducción no se limitan a este tipo de falibilidad, el salto lógico de las inferencias ampliativas nos expone al error puro y duro. Una vez saltamos, si no tenemos mucho cuidado, podemos acabar con nuestros huesos en el asfalto. La inducción es una herramienta muy poderosa, pero su uso racional es un arte que exige del investigador responsable modestia intelectual y compromiso con la integridad intelectual.

12.8 Resumen

Si queremos aprender sobre el mundo externo estamos obligados a hacer inferencias ampliativas y, por lo tanto, lógicamente inválidas. Nuestro conocimiento, más allá de las disciplinas formales, como la lógica o las matemáticas, siempre será falible. Siempre cabrá la posibilidad de que estemos completamente equivocados o, al menos, de que nuestras creencias hayan de ser matizadas en el futuro.

Esta no es una simple posibilidad filosófica, sino que tiene profundas implicaciones prácticas. La física clásica de Newton y Maxwell, a pesar de sus enormes éxitos empíricos, hubo de ser abandonada como teoría fundamental porque otras teorías, que los investigadores clásicos no habían soñado plantear, demostraron ser más correctas. La física establecida cayó a principios del siglo XX de un modo espectacular y esa es una lección sobre la que los filósofos de la ciencia han estado reflexionando desde entonces. Las conclusiones las iremos desgranando en los próximos capítulos, pero hay algo que podemos adelantar: la NASA sigue usando la mecánica newtoniana para calcular la trayectoria de sus cohetes. Que una teoría ya no sea candidata a nuestra mejor teoría fundamental no implica necesariamente que sea completamente errónea. La mecánica newtoniana sigue siendo una excelente aproximación en la mayoría de los casos. Además, las nuevas teorías han de dar cuenta de los fenómenos empíricos que se utilizaron para justificar las antiguas y esto exige que las estructuras de las nuevas y las viejas sean muy similares en las regiones mejor exploradas. Podríamos decir que en estos casos la ciencia refina y matiza, no desecha.

Por otro lado, en áreas que estudian sistemas más complejos, como la ecología o la epidemiología, puede que las conclusiones establecidas pasen a ser falsas sin previo aviso porque algún aspecto relevante de esos sistemas cambie. El conocimiento sobre un sistema asume que el sistema seguirá comportándose mañana como lo ha hecho en el pasado. La base de nuestro conocimiento es empírica, pero las evidencias, provienen necesariamente del pasado, de modo que si cambian las reglas de juego lo que hemos aprendido de ellas puede convertirse en papel mojado.

Nuestra perspectiva siempre será limitada. Es posible generar conocimiento, pero el reconocimiento de nuestras limitaciones exige que seamos especialmente rigurosos y, a la vez, que recordemos que, incluso así, puede que estemos equivocados o, al menos, que nuestras ideas sean susceptibles de mejora.


  1. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:48.↩︎

  2. Ibid., pagina:35.↩︎

  3. Annas and Barnes, The Modes of Scepticism Paperback, location:73.↩︎

  4. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:28.↩︎

  5. Staley, An Introduction to the Philosophy of Science, location:670.↩︎

  6. Annas and Barnes, The Modes of Scepticism Paperback, location:73.↩︎

  7. Chalmers, What is This Thing Called Science?, location:958.↩︎

  8. Yudkowsky, Rationality, location 10005.↩︎

  9. Staley, An Introduction to the Philosophy of Science, location:231.↩︎

  10. Ibid., location:285.↩︎

  11. Carroll, The Big Picture, location:1394.↩︎

  12. “Last Thursdayism”.↩︎

  13. Pigliucci and Boudry, Philosophy of Pseudoscience, location:3683.↩︎

  14. Kenny, A New History of Western Philosophy, location:13940.↩︎

  15. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:41.↩︎

  16. Ibid., pagina:36.↩︎

  17. Nekrašas, The Positive Mind, location:1740.↩︎

  18. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:83.↩︎

  19. Okasha, Philosophy of Science, location:1172.↩︎

  20. Godfrey-Smith, Theory and Reality, location:815.↩︎

  21. Sokal, Beyond the Hoax, location:189.↩︎

  22. Ibid., location:190.↩︎

  23. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:170.↩︎

  24. Massimo Pigliucci, The Nature of Philosophy, location:2011.↩︎

  25. Carroll, The Big Picture, location:2444.↩︎

  26. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions.↩︎

  27. Ladyman, Understanding Philosophy of Science, pagina:162.↩︎

  28. Madrid Casado, “A Brief History of the Mathematical Equivalence Between the Two Quantum Mechanics”.↩︎

  29. Boghossian, Fear of Knowledge, location:1755.↩︎

  30. Chalmers, What is This Thing Called Science?, location:1175.↩︎

  31. Gower, Scientific Method.↩︎

  32. Nekrašas, The Positive Mind, location:4822.↩︎

  33. Howson and Urbach, Scientific Reasoning, location:15.↩︎